Algorithmische Lineare Algebra: Eine Einführung für by Herbert Möller (auth.)

By Herbert Möller (auth.)

Dr. Herbert Möller ist Professor für Mathematik an der Universität Münster.

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Der Spaltenvektor Pb Hillt sich leicht berechnen, da das Produkt P = Pirr · ... · Pi,. 16 Definition der Permutationsmatrix Eine mxm-Matrix P heiBt Permutationsmatrix genau dann, wenn in jeder Zelle und in jeder Spalte von P genau eine 1 steht und P sonst nur Nullen enthillt. 17 Jede Vertauschungsmatrix Pik ist offenbar eine Permutationsmatrix, und das Produkt PikP' einer Vertauschungsmatrix mit einer Permutationsmatrix P' ist wieder eine Permutationsmatrix, da bei der Vertauschung zweier Zellen von P' die Zahl der Nullen und Einsen in jeder Zelle und in jeder Spalte unverandert bleibt.

Achtung: Fundgrube! [US-Zerlegung und Invertierbarkeit der mxm-Matrizen A=(aik) mit aH,=2, i=1, ... d a) Bestimmen Sie diejenigen 3x 3-Matrizen, die mit allen anderen 3x3-Matrizen vertauschbar sind. b) Geben Sie diejenigen normierten oberen 3x3-Matrizen an, die mit allen normierten oberen 3x3-Matrizen vertauschbar sind. e Eine mxm-Matrix A heiSt nilpotent, wenn es ein ne IN gibt, so daB An = (0) gilt. A und B seien nilpotente mxm-Matrizen. Zeigen Sie: a) Aus An = (0) folgt, daB Em- A invertierbar ist und daB (E m - A)-l = Ern + A + A2 +...

Die Eigenschaften Gl, G2 und G3 werden Gruppenaxiome genannt. Der Vorteil einer solchen axiomatischen Definition liegt einerseits darin, daB wir hOchst verschiedenartige Gebilde unter einem einheitlichen Gesichtspunkt ordnen kannen. Andererseits gelten aile SchluBfolgerungen, die wir mit Hilfe der Regeln der Logik aIlein aus den Axiomen ziehen kannen, fur aile Gebilde, die die Axiome erfilllen. Bei abelschen Gruppen wird die VerknUpfung oft als "Addition" geschrieben. 1st die VerknUpfung eine "Multiplikation", so wird das Malzeichen meistens weggelassen.

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