Against Sincerity by Louise Gluck

By Louise Gluck

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General and synthetic methods. Electronic book .: A review of the literature published between January 1991 and July 1992, Volume 16

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Entonces F ∈ CY si y s´ olo si F ∈ C. 1 anterior y el hecho de que la intersecci´on arbitraria de cerrados es cerrado. Obs´ervese que la implicaci´on hacia la izquierda es cierta a´ un cuando Y no sea cerrado, es decir, si F es un cerrado en T contenido en Y entonces F es siempre un cerrado en TY . 4. ENTORNOS. 4. 39 Entornos. Bases de entornos Es posible conocer los entornos de un punto en un subespacio topol´ogico sin m´as que conocer los entornos de ese punto en el espacio de partida. Dado un espacio topol´ ogico (X, T ) y un subconjunto, Y de X denotaremos por EntY (y) al conjunto de los entornos de y ∈ Y en la topolog´ıa inducida.

De hecho est´an totalmente determinados, salvo en el caso del interior y la frontera. 1 Dado (X, T ) espacio topol´ ogico y Z ⊂ Y ⊂ X, entonces: a) ExtY (Z) = Ext(Z) ∩ Y. b) IntY (Z) ⊃ Int(Z) ∩ Y. c) ClY (Z) = Cl(Z) ∩ Y. d) F rY (Z) ⊂ F r(Z) ∩ Y. e) AisY (Z) = Ais(Z) ∩ Y. f ) DerY (Z) = Der(Z) ∩ Y. 1) es f´acil probar todas las igualdades y contenidos que se afirman. Por tanto se deja la demostraci´ on como ejercicio. En general no es cierto que IntY (Z) = Int(Z) ∩ Y . 5. 1 Considerando sobre el conjunto de los n´ umeros naturales la topolog´ıa T = {A ⊂ N / {1, 2} ⊂ A} ∪ {∅} e Y = {5, 6, 7}, ocurre que TY coincide con la topolog´ıa discreta en Y .

Sin embargo no es cerrada, como se demuestra observando que f (R) = (0, ∞). Como ocurr´ıa con la continuidad, podemos enunciar un resultado que nos provea de multitud de ejemplos de aplicaciones abiertas y cerradas. 2 La identidades 1X : (X, T ) → (X, T ) y las composiciones de aplicaciones abiertas (resp. cerradas) son aplicaciones abiertas (resp. cerradas). Adem´ as, dada f : (X, T ) → (X , T ): a) Si f es sobre y T = TI (≡ topolog´ıa indiscreta) entonces f es abierta y cerrada. b) Si T = TD (≡ topolog´ıa discreta) entonces f es abierta y cerrada.

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